nonlinear

تفاوت تحلیل خطی و غیر خطی

در این یادداشت تفاوت تحلیل خطی و غیرخطی شرح داده شده است و مفهوم تحلیل غیرخطی درک خواهد شد. همچنین فواید انتخاب روش تحلیل مناسب بیان میگردد و شرح داده خواهد شد که عدم لحاظ نمودن آنالیز غیرخطی خطاهای جدی را در طراحی منجر خواهد شد و بیان میگردد که تحلیل غیرخطی چگونه به طراحی سازه های بهینه تر خواهد انجامید.

مهندس کامیار باقری نژاد کارشناس ارشد سازه

چکیده
در این یادداشت تفاوت تحلیل خطی و غیرخطی شرح داده شده است و مفهوم تحلیل غیرخطی درک خواهد شد. همچنین فواید انتخاب روش تحلیل مناسب بیان میگردد و شرح داده خواهد شد که عدم لحاظ نمودن آنالیز غیرخطی خطاهای جدی را در طراحی منجر خواهد شد و بیان میگردد که تحلیل غیرخطی چگونه به طراحی سازه های بهینه تر خواهد انجامید.

مقدمه

در طول دهه های گذشته تحلیل به روش اجزای محدود از یک ابزار صرفا تحلیلی وارد دنیای عملی طراحی های مهندسی شده است. نرم افزار های کامپیوتری با قابلیت تحلیل به روش اجزای محدود مجهز شده اند و مهندسان طراح به طور گسترده از روش اجزای محدود در مراحل طراحی خود استفاده میکنند]1[.

هرچند اخیرا بیشتر نرم افزار های تحلیلی مورد استفاده مهندسان به روش تحلیل خطی بودند، تحلیل خطی تقریب قابل قبولی از ویژگی ها و رفتار حقیقی بیشتر مسائل مهندسی ارائه میدهد ولی در برخی موارد که باعث رفتار غیر خطی میگردند چالش های بزرگی بوجود می آید.

از نظر تاریخی مهنسان به علت وجود فرمول های پیچیده و زمان طولانی حل مسائل غیر خطی به استفاده از روش های تحلیل غیر خطی تمایلی نشان نمیدادند]2[ ، اما امروزه به علت وجود نرم افزار های با قابلیت تحلیل غیر خطی به روش اجزای محدود با محیط کاربری آسان این رویکرد دچار تحول شده است. بعلاوه روش های توسعه یافته حل مسائل و کامپیوتر های قدرتمند زمان حل مسائل را بسیار کاهش داده است]3[. در یک دهه گذشته مهندسان روش اجزای محدود را به عنوان یک روش طراحی با ارزش و دور از دسترس قلمداد میکردند. امروزه مهندسان طراح به فواید تحلیل غیر خطی به روش اجزای محدود و استفاده از آن در مراحل طراحی آگاهی کامل دارند.

تفاوت تحلیل خطی و غیر خطی

واژه « سختی[1] » اصلی ترین تفاوت بین تحلیل خطی و غیر خطی را تعریف میکند. سختی یکی از مشخصه های عضو یا سازه میباشد که رفتار آن را نسبت به بار های وارده مشخص میکند. مواردی که بر روی سختی اثر گذارند شامل:

  • شکل[2] : یک تیر I شکل سختی متفاوتی از یک تیر U شکل دارد.

شکل1: اشکال مختلف مقاطع

  • جنس[3]: یک تیر آلومینیومی سختی کمتری از یک تیر فولادی هم اندازه خود دارد.

شکل2: جنس های مختلف مواد

  • تکیه گاه[4]: یک تیر با تکیه گاه در یک انتهای خود سختی کمتر و تغییر شکل بیشتری نسبت به تیری با همان اندازه و جنس ولی با دو تکیه گاه در انتها دارد.

شکل3: شرایط تکیه گاهی متفاوت

هنگامی که یک سازه در برابر بار وارده تغییر شکل میدهد به علت یک یا چند عامل معرفی شده در بالا سختی آن تغییر میکند.به عنوان مثال اگر تغییر شکل خیلی زیاد باشد عامل شکل میتواند تغییر کند و اگر مقاومت مواد به حد نهایی خود برسند، عامل خواص مواد تغییر خواهد کرد.

از طرف دیگر اگر تغییر در سختی به اندازه قابل توجهی کم باشد، این امکان وجود دارد که بتوان فرض کرد که شکل و جنس در طول مراحل تغییر مکان ثابت بمانند. این فرض مهم ترین اصل در تحلیل خطی میباشد.

بدین معنی که در تمام مراحل تغییر شکل، مدل آنالیز شده دارای همان سختی میباشد که مدل اولیه پیش از اعمال بار داشت. در تحلیل خطی صرفنظر از اینکه مدل چه مقدار تغییر شکل داشته باشد، یا اینکه بار به صورت مرحله ای یا ناگهانی اعمال گردد و یا اینکه تنش بسیار زیادی به علت بار وارده در اعضای سازه به وجود آید، مدل همواره سختی اولیه خود را در طول مراحل تحلیل حفظ خواهد کرد. این فرض به مقدار بسیار زیادی فرمول ها و حل مسائل مربوطه را ساده میکند.

اساسی ترین معادله تحلیل به روش اجزای محدود را در نظر بگیرید:

[F] = [K] x [d]

که در آن [F] بردار معلوم نیروها در نقاط ، [K] ماتریس معلوم سختی و [d] بردار مجهول تغییر مکان نقاط میباشند.

این معادله ماتریسی رفتار مدل در تحلیل

به روش اجزای محدود را شرح میدهد. این رابطه شامل تعداد زیادی معادله جبری خطی میباشد و به نسبت ابعاد مدل ممکن است از چند هزار تا چند میلیون متغیر داشته باشد. ماتریس سختی [K] به شکل هندسی مدل، خواص فیزیکی مواد تشکیل دهنده مدل و مهار ها و تکیه گاه های آن بستگی دارد. برای تحلیل خطی فرض میگردد که سختی مدل هرگز تغییر نمیکند، سپس این معادله ها با فرض ثابت بودن ماتریس سختی تشکیل داده میشوند و در حالی که مدل تغییر شکل میدهد، بدون نیاز به بروز رسانی و تغییر هیچ پارامتری تنها یکبار حل میگردند. بنابراین تحلیل خطی مسیری مستقیم از فرمول های مسئله و حل آنها را دنبال میکند. این امر باعث میگردد که حل معادلات و رسیدن به جواب حتی برای مدل های خیلی بزرگ

چند ثانیه و یا چند دقیقه طول بکشد.

ولی به محض ورود به دنیای تحلیل غیر خطی همه چیز فرق میکند، زیرا تحلیل غیر خطی اجازه فرض سختی ثابت در طول مراحل تغییر شکل را به مهندس نمیدهد. در عوض سختی در طی مراحل تغییر شکل، تغییر میکند و ماتریس سختی [K] باید در هنگام مراحل حل مسائل پویا باشد و تغییر کند. این تکرار باعث افزایش زمان تحلیل و دست یابی به نتایج حقیقی تحلیل مدل میگردد.

انواع مختلف تحلیل غیر خطی

هر چند مراحل تغییر سختی امری متداول در تمامی انواع تحلیل غیرخطی میباشد، منشا رفتار غیرخطی میتواند متفاوت باشد. این امر باعث میگردد که تحلیل غیرخطی براساس منشا رفتار غیرخطی طبقه بندی گردد. بنابراین نمیتوانیم یک نوع رفتار غیرخطی را برای تمامی مسائل درنظر بگیریم و براساس نوع مدل ممکن است چند رفتار غیر خطی به طور همزمان در مدل بروز کند.

غیرخطی هندسی[5]

همانگونه که شرح داده شد، هنگامی که سختی مدل بر اساس عوامل خارجی تغییر میکند، تحلیل غیر خطی ضروری میباشد. اگر تغییر در سختی به علت تغییر در شکل مدل باشد، رفتار غیرخطی به عنوان غیرخطی هندسی تعریف میگردد.

در برخی از نرم افزار های تحلیلی به روش اجزای محدود، تحلیل هایی با عنوان «تحلیل تغییر شکل های بزرگ[6]» نیز به عنوان تحلیل غیر خطی هندسی نامیده میشوند ولی باید توجه کرد که این نوع تحلیل ضرورت استفاده از تحلیل غیر خطی برای تغییر شکل های کوچک را در نظر نمیگیرد. یکی از روش هایی که برای تحلیل غیرخطی هندسی در سازه ها میتوان استفاده کرد، در نظر گرفتن اثر P-Δ میباشد.

اثر P-Δ :

اثر P-Δ که به عنوان «غیر خطی هندسی» نیز شناخته میشود به علت اعمال با در حالت تغییر شکل یافته یک سیستم سازه ای و تغییر در معادله تعادل سازه به وجود می آید. به طور خاص میتوان گفت که P-Δ به علت وجود بار های ثقلی در سازه های چند طبقه ای که تغییر مکان جانبی یافته اند ایجاد میشود. این شرایط باعث افزایش تغییر مکان جانبی طبقات میگردد.

شکل4: اثر P-Δ در ستون

همانطور که در شکل 4 مشاهده میکنید، اثر P-Δ شامل بار بزرگ خارجی بر روی تغییر مکان های کوچک میباشد. اگر تغییر شکل ها بسیار یزرگ گردند که موجب برهم خوردن روابط خطی گردند، «آنالیز تغییر مکان های بزرگ[7]» ضروری میگردد. در تئوری خطی فرض میشود که تغییر مکان ها کوچک هستند و کل بار وارده در یک مرحله برای تحلیل اعمال میگردد. روش تغییر شکل های بزرگ هنگامی که تغییر شکل ایجاد شده باعث تغییر چشمگیر در سختی سازه گردند و در توانایی سازه برای تحمل بار ها تغییر ایجاد کنند مورد نیاز است. در حل به روش تغییر شکل های کوچک فرض میگردد که سختی در طول اعمال بار تغییر نمیکندولی در تغییر شکل های بزرگ فرض میگردد که سختی در طول اعمال بار تغییر میکند، بنابراین بار ها به تدریج در مراحل مختلف اعمال میگردند و سختی برای هر مرحله از مراحل تحلیل به روز رسانی میگردد.

مواد غیر خطی [8]

اگر تغییر در سختی به علت تغییر در خواص مواد تحت شرایط بارگذاری خارجی رخ دهد، تحلیل غیر خطی مواد مطرح میگردد. مطابق شکل 5 در تحلیل خطی فرض میگردد که رابطه تنش و کرنش مواد خطی است و تنش متناسب با کرنش تغییر میکند.

شکل5: منحنی تنش کرنش خطی

این بدان معنی است که فرض شده است اگر بار زیادی وارد گردد تنش زیاد و تغییر شکل زیادی رخ خواهد داد و این تغییرات متناسب با نیروی اعمال شده است. همچنین فرض میکند که هیچ تغییر شکل دائمی رخ نخواهد داد و به محض برداشتن بار اعمال شده مدل همیشه به شکل اولیه خود باز خواهد گشت.

هرچند این فرضیه مورد قبول است، ولی اگر بارهای وارده آنقدر بزرگ باشند که تغییر شکل دائمی ایجاد کنند (مانند حالتی که در اکثر مواد پلاستیک اتفاق می افتد)، و یا هنگامی که کرنش ایجاد شده خیلی زیاد شود (همانگونه که در لاستیک و مواد کشسان رخ میدهد)، مدل غیرخطی مواد باید در نظر گرفته شود.

مواد مختلف رفتار متفاوتی را در ناحیه غیرخطی از خود نشان میدهند. تکنیک های تحلیل به روش اجزای محدود متفاوتی نیز برای درنظر گرفتن حالت غیرخطی مواد و شبیه سازی رفتار آنها مورد استفاده قرار میگیرند. در جدول 1 مناسبترین تکنیک های تحلیل غیرخطی برای مواد الاستوپلاستیک[9] که عمده ترین مواد سازه ای میباشند پیشنهاد شده است:

نوع مدل پیشنهادی موارد استفاده
Von MissesیاTresca این مدل برای مواردی مناسب است که منحنی تنش-کرنش پیش از رسیدن به تنش نهایی، ناحیه ای بدون تغییر و یا با تغییرات کوچک را نشان دهد.بیشتر مواد مهندسی با این روش، خصوصیاتشان قابل تعریف است.
Druckr-Prager این مدل برای خاک و مواد دانه ای مناسب است.

جدول 1: تکنیک های تحلیل غیرخطی برای مواد الاستوپلاستیک

شکل 6 منحنی تنش-کرنش برای مواد الاستوپلاستیک (الاستیک-کاملا پلاستیک[10]) را نشان میدهد. بر اساس این نوع مدل برای مواد، مقدار تنش حداکثر، از محدودیت تنش پلاستیک (تنش تسلیم) نمیتواند تجاوز کند.

شکل6: منحنی تنش کرنش مواد الاستیک-کاملا پلاستیک

در تحلیل مواد الاستیک-کاملا پلاستیک باید توجه کرد که این مواد پس از ورود به محدوده پلاستیک توانایی بازگشت به شکل اولیه را ندارند و در مقادیر کرنش بالاتر از کرنشی مشخص، تنش ثابت باقی می ماند.

شکل 7 یک براکت[11] آلومینیومی را نشان میدهد. بیشترین تنش موجود در تحلیل خطی براکت 44 مگاپاسکال میگردد و این حقیقت که آلومینیوم در 28 مگاپاسکال جاری میشود را نادیده گرفته است.

شکل7 : تحلیل خطی براکت آلومینیومی سوراخ دار تنشی بیش از محدوده تنش تسلیم مواد تشکیل دهنده آنرا نشان میدهد

تحلیل غیرخطی میتواند نشان دهد که اگر تنش موجود بیش از 28 مگاپاسکال شد، مواد وارد محدوده تنش تسلیم میشوند. همانگونه که در شکل 8 مشاهده میشود، تحلیل غیرخطی نشان میدهد که براکت به خرابی بسیار نزدیک است. محدوده پلاستیک تقریبا تمام مقطع قسمت طره را فرا گرفته است و اندکی افزایش در مقدار بار وارده باعث میگردد که مقطع کاملا پلاستیک شود و باعث تشکیل مفصل پلاستیک[12] گردد که باعث متلاشی شدن براکت میگردد.

شکل8: تحلیل غیرخطی تنشی بیش از تنش تسلیم را در براکت نشان نمی دهد. گستردگی ناحیه پلاستیک نشان میدهد که ایجاد مفصل پلاستیک در براکت بسیار نزدیک است. نیروی وارده در مرز ظرفیت باربری براکت است

البته قضاوت مهندسی برای اینکه تصمیم گرفته شود که طرح صورت گرفته مورد قبول است یا خیر ضروری میباشد.

کمانش [13]

سختی در اعضا به علت بار وارده نیز تغییر میکند. بعضی وقت ها، نیرو ها بسته به اینکه چگونه اعمال میشوند میتوانند باعث افزایش سختی (نیرو های کششی) و یا کاهش آن (بار های فشاری) گردند. به عنوان مثال، یک طناب کشیده شده میتواند وزن یک آکروبات باز را تحمل کند ، در حالی که شل شدن طناب باعث افتادن او میگردد. در مورد نیروهای فشاری، اگر تغییر در سختی آنقدر کافی باشد که باعث رسیدن سختی سازه به صفر گردد، کمانش رخ خواهد داد و سازه دچار تغییر شکل سریع میگردد. این کمانش ممکن است باعث سقوط سازه گردد و یا ایجاد سختی جدید در مرحله پس از کمانش نماید.

تحلیل خطی کمانش میتواند برای محاسبه نیرویی که بر اثر آن سازه دچار کمانش میگردد استفاده شود (بار اویلر[14]). با اینحال نتیجه حاصل از تحلیل خطی کمانش همیشه دقیق نیست. به علاوه ایده آل سازی سازه ها در تحلیل به روش اجزای محدود ممکن است باعث شود که نتایج پیش بینی شده برای بار کمانش بسیار بیشتر از مقداری گردد که در سازه واقعی رخ میدهد. بنابر این نتایج حاصل از تحلیل خطی کمانش باید محتاطانه استفاده گردند.

کمانش لزوما معادل خرابی شدید در سازه نیست و ممکن است سازه پس از وقوع کمانش نیز قادر به تحمل بار باشد. تحلیل غیر خطی میتواند رفتار پس از کمانش را شرح دهد.

تکیه گاه غیر خطی[15]:

اگر شرایط تکیه گاه در طول اعمال بار تغییر کند، تحلیل غیر خطی برای تکیه گاه ها مورد نیاز است. شکل 9 مثالی از تکیه گاه غیرخطی میباشد. طول ماثر تیر و سختی حاصله بستگی به مقدار تغییر شکل تیر دارد. هنگامی که تیر با تکیه گاه تماس پیدا میکند، به علت کاهش طول ماثر تیر، سختی افزایش پیدا میکند.

شکل 9 : این تکیه گاه هنگامی که فعال گردد باعث تغییر طول ماثر تیر میگردد. در نتیجه سختی تیر تغییر میکند و حل آن نیاز به تحلیل غیر خطی دارد.

تحلیل دینامیکی غیرخطی

تحلیل دینامیکی هنگام وجود اثرات اینرسی، میرایی و نیروهای وابسته به زمان مورد نیاز است. آزمایش سقوط، لرزش یک موتور، برخوردها و زلزله همگی نیاز به تحلیل دینامیکی دارند.

ولی تحلیل دینامیکی خطی است یا غیرخطی؟ قوانین موجود دقیقا همانند قوانین موجود در تحلیل استاتیکی میباشند.

اگر سختی مدل بر اثر بار های وارده تغییر چندانی نداشته باشد، تحلیل دینامیکی خطی کفایت میکند. ولی در مسائلی که تغییر مکان های بزرگ (هندسه غیر خطی) و یا کرنش های بزرگ (مواد غیر خطی) رخ میدهد به تحلیل دینامیکی غیرخطی نیاز است.

دلایل استفاده از تحلیل غیرخطی

طبیعت غیرخطی است این به این معنی است که تحلیل خطی تنها میتواند رفتار واقعی غیرخطی سازه ها را تخمین بزند. گاهی چنین تخمین هایی میتواند مورد قبول باشد و از تحلیل خطی دیدی مناسب نسبت به مشخصات و رفتار سازه بدست آورد. ولی در بیشتر موارد فرضیات خطی تفاوت بسیار زیادی با واقعیت دارند و اطلاعات غلطی به ما میدهند.

استفاده از نتایج تحلیل خطی برای تصمیم گیری اینکه آیا یک عضو بر اثر بار وارده دچار خرابی میگردد یا خیر ممکن است موجب طرحی غیر اقتصادی گردد. به عنوان مثال، در طراحی یک براکت که به روش خطی تحلیل شده است، طراح باید به این نکته توجه کند که تنش موجود نباید از تنش تسلیم تجاوز کند ولی تحلیل غیرخطی ممکن است نشان دهد که بعضی از تنش های تسلیم میتوانند موجب خرابی نگردند و مورد قبول باشند. در اینگونه موارد میتوان در ابعاد صرفه جویی کرد و هزینه ها را کاهش داد، بدون اینکه مجبور باشیم درستی عملکرد سازه را به خطر اندازیم.

نتیجه گیری

رفتار غیرخطی در سازه ها میتواند به علت تغییر در رفتار هندسه سازه و یا رفتار مواد سازه به وجود آید. سختی اصلی ترین تفاوت بین تحلیل خطی و غیرخطی را تعریف میکند. سختی یکی از ویژگیهای عضو یا سازه میباشد که رفتار آن عضو و یا سازه را نسبت به بارهای اعمال شده نشان میدهد. سه عامل اصلی روی سختی تاثیر گذارند:شکل، جنس و شرایط تکیه گاهی.

منبع: ksoft.ir

[1] Stiffness

[2] Shape

[3] Material

[4] Support

[5] Nonlinear geometry

[6] Large deformation analysis

[7] Large displacement analysis

[8] Nonlinear material

[9] Elastoplastic

[10] Elastic-Perfectly Plastic

[11] Bracket

[12] Plastic hinge

[13] Buckling

[14] Euler load

[15] Nonlinear support

دانلود فایل PDF متن کامل مقاله به همراه تصاویر :

دانلود “تفاوت-تحلیل-خطی-و-غیر-خطی.pdf” تفاوت-تحلیل-خطی-و-غیر-خطی.pdf – Downloaded 6697 times – 243 KB

3 دیدگاه برای “تفاوت تحلیل خطی و غیر خطی

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *